✎☛ Résoudre un système par substitution

Méthode Par substitution

Pour résoudre par substitution un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on exprime, dans l'une des équations, l'une des inconnues en fonction de l'autre puis on remplace cette expression dans l'équation restante. On vérifie ensuite que le couple obtenue est bien solution du système.

Énoncé

Résoudre le système suivant par substitution :  \(\begin{cases} 2x-3y=-1 \\ x-y=-1 \end{cases}\) .

Solution

Le déterminant du système est :  \(2\times (-1)-1\times (-3)=1\) .
Il est différent de 0, donc le système admet un unique couple solution.
On note \(E_1\) et \(E_2\) les deux équations du système :  \(\begin{cases}  2x-3y=-1 \quad E_1\\  x-y=-1 \qquad E_2  \end{cases}\) .
On exprime, dans \(E_2\) ,   \(y\)   en fonction de  \(x\)   (on aurait aussi pu exprimer  \(x\)   en fonction de  \(y\) ) :   `y=x+1` .
On remplace cette expression de   \(y\)  dans \(E_1\)  :
\(2x-3(x+1)=-1 \Leftrightarrow 2x-3x-3=-1 \Leftrightarrow -x=2 \Leftrightarrow x=-2\) .
On obtient :  \(y=x+1=-2+1=-1\) .
On vérifie que le couple   \((-2~;-1)\) est bien solution du système.
Conclusion : \((-2~;-1)\) est le couple solution du système.